式中 bd—— 等效切削宽度，即本次切削实际切到上次切削残留振纹在垂直于振动方向投影宽度；
b—— 本次切削在垂直于振动方向上的切削宽度；
B， fa ——砂轮宽度与轴向进给量。
一般0＜μ＜1，轴向切削时，0＜μ＜1
径向切入（前后两次走刀完全重叠时）μ＝1（如切槽、钻、端铣等）
车方牙螺纹，μ＝0，无重迭切削，不可能发生再生颤振。
在金属切削过程中，除极少数情况外，刀具总是部分地或完全地在带有波纹的表面上进行切削的。
振型耦合原理：
振动系统实际上都是多自由度的，如图是一个二自由度振动系统示意图。不考虑再生效应，当刀架系统产生了角频率为ω的振动，则刀架将在x1和x2两个方向上同时振动，刀具振动的轨迹一般为椭圆形的封闭曲线A→C→B→D→A。
自激振动的产生条件：
①k1＝k2，x1与x2无相位差， 轨迹为直线，无能量输入
②k1＞k2，x1超前x2，轨迹A→D→B→C→A为一椭圆，切入半周期内的平均切削厚度比切出半周期内的大，系统无能量输入
③k1＜k2，x1滞后于x2，轨迹为一顺时针方向椭圆，即：A→C→B→D→A。此时，切入半周期内的平均切削厚度比切出半周期内的小，有能量获得，振动能够维持。
负摩擦原理
切削塑性材料时，吃刀抗力Fp自某一速度开始随切削速度增加而下降。在此区域，极易引起自激振动。
Fp主要取决于切屑与刀具相对运动所产生的摩擦力。切削过程若有振动，切入半周期切削速度高→Fp小→切入半周期切削力所作负功小于切出半周期切削力所作正功，系统有能量输入，振动维持
Fp主要由摩擦引起，故将切削速度增高导致摩擦力下降的特性称为负摩擦特性。
切削力滞后原理
由于存在惯性和阻尼，作用在刀具上的切削力滞后主振动系统运动。
振入过程实际切削厚度小于名义值→Fp小→切入半周期切削力所作负功小于切出半周期切削力所作正功，系统有能量输入，振动维持。
由切削力滞后引起，故称为滞后型颤振。
三、机械加工过程中振动的防治措施
1．消除或减弱产生强迫振动的条件
减小机内干扰力的幅值
动力源（尤其是液压系统）与机床本体分离；
机床中高速回转的零件进行静平衡和动平衡；
提高转动件的制造和装配精度，或采用对振动和动平衡不敏感的高阻尼材料制造齿轮，以减少啮合所造成的振动；
对于往复运动部件，关注其质量、速度及换向机构。
调整振源的频率：
调整刀具或工件的转速，使激振力频率偏离工艺系统的固有频率。
式中 f 和 fn分别为振源频率和系统固有频率。
隔振
主动隔振——阻止机床振动通过地基外传
被动隔振——阻止机外干扰力通过地基传给机床
常用隔振材料有橡皮、金属弹簧、空气弹簧、泡沫乳胶、软木、矿渣棉、木屑等。
提高工艺系统的刚度和阻尼
采用刮研各零部件之间的接触表面，以增加各种部件间的连接刚度；
利用跟刀架，缩短工件或刀具装夹时的悬伸长度等方法以增加工艺系统的刚度。
采用减振装置
如果不能从根本上消除产生振动的条件，又不能有效的提高工艺系统的动态特性，可采用消振减振装置。
2．消除或减弱产生自激振动的条件
减小切削或磨削时的重叠系数
减小重叠系数方法：增加主偏角、增大进给量
合理选择切削用量
V＝30～70m／min→自振↑
f↓→自振↑；保证Ra时→f↑
切削深度增大，切削宽度也增大，振动增强，选择切削深度时一定要考虑切削宽度对振动的影响
合理选择刀具参数
前角、主偏角↑→自振↓
后角↓→自振↓；但太小时→自振↑
适当地增大前角、主偏角，能减小Fy，从而减小振动。主偏角增大，则垂直于加工表面方向的切削分力减小，故不易产生自振。
但精加工中由于切削深度较小，后角较小时，刀刃不容易切入工件，且使刀具后面与加工表面间的摩擦加剧，反而容易引起自振。通常在刀具的主后面上磨出一段后角为负的窄棱面，如图所示，这样可以增大工件和后刀面之间的摩擦阻尼，起到很好的减振效果。
调整振动系统小刚度主轴的位置
